3.1.2 Área delimitada entre dos funciones

Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, es utilizando el cálculo integral:

El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas: f(x) y g(x)[<f(x)] y en el intervalo [a,b] .

Ejemplo Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función f(x) = 4 − x2 en el intervalo [ − 2;2], se utiliza la ecuación anterior, en este caso: g(x) = 0 entonces evaluando la integral, se obtiene:

Por lo que se concluye que el área delimitada es 32/3

El volumen encerrado entre dos funciones también puede ser reducido al cálculo de una integral, similar. 

fuente: Área. (2011, 16) de marzo. Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 02:42, marzo 24, 2011 fromhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%81rea&oldid=44875457.

3.2 Longitud de curvas

Longitud de curvas

Es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentosirregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.FormulacionAl considerar una curva definida por una función y su respectiva derivada que son continuas en un intervalo [a, b], la longitud S del arco delimitado pora y b es dada por la ecuación: En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones dependientes de t comoela longitud del arco desde el punto hasta el punto se calcula mediante: Si la función esta definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ángulo polar están relacionados mediante  la longitud del arco comprendido en el intervalo toma la forma: 

Deducción de la fórmula para funciones de una variable

 Supongamos que tenemos una curva rectificable cualquiera, regida por una función , y supongamos que queremos aproximar la longitud del arco de curva S que va desde un punto a a uno b. Con este propósito podemos diseñar una serie de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva elegido tal como se ve en la figura. Para hacer a este método "más funcional" también podemos exigir que las bases de todos aquellos triángulos sean iguales a Δx, de manera que para cada uno existirá un cateto Δy asociado, dependiendo del tipo de curva y del arco elegido,  siendo entonces cada hipotenusa igual a , al aplicarse el teorema pitagórico. Así, una aproximación de S estaría dada por la sumatoria de todas aquellas n hipotenusas desplegadas. Por eso tenemos que;  Pasemos a operar algebraicamente la forma en que calculamos cada hipotenusa para llegar a una nueva expresión;Luego, nuestro resultado previo toma la siguiente forma:Ahora bien, mientras más pequeños sean estos n segmentos, mejor será la aproximación buscada; serán tan pequeños como deseemos haciendo que Δxtienda a cero. Así, Δx deviene en dx, y cada cociente incremental Δy_i / Δx_i se transforma en un dy / dx general, que es por definición . Dados estos cambios, nuestra aproximación anterior se convierte en una sumatoria más fina y ahora exacta, una integración de infinitos segmentos infinitesimales;

http://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_de_arco

3.3 Cálculo de volúmenes de sólidos de revolucio

 Metodo del disco:

Si giramos una region del plano alrededor de un eje obtenemos un solido de revolucio. El volumen de este disco de radio R y de anchura w es:

Volumenes del disco= R2 w

Para ver como usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un solido de revolucion general,se hacen n particiones en la grfica

Metodo de la arandela:

Este metodo consiste en hallar el volumen de un solido generado al girar una region R que se encuentra entre 2 curvas como se muestra:

Si la region que giramos para formar un solido no toca o cruza el eje de rotacion,el solido generado tendraun hueco o agujero.Las secciones transversales que tambien son perpendiculares al eje de rotacion son arandelas en lugar de discos.

Metodo de los casquillos cilindricos:

Este metodo es tambien llamado metodo de capas. El método de los casquillos usa como elemento representativo de volumen un cilindro que es generado al girar un rectángulo, orientado de forma paralela al eje de revolución. En primer lugar es necesario que desarrollemos la formula para el volumen del cilindro diferencial.

Fuente:
http://s3.amazonaws.com/lcp/analisis-matematico/myfiles/SOLIDOSDEREVOLUCION.pdf

3.4 Cálculo de centroides

Calculo de la Centroides por medio de la integración.

1. Preparar un esquema del cuerpo a escala.

2. Establecer un sistema de coordenadas, en la mayoría de los cuerpos que sean superficies planas, se utilizan coordenadas rectangulares, siempre que el cuerpo presente un eje o un plano de simetría se tomara uno de los ejes, el centroide se encontrara siempre sobre tal eje.

3. Seleccionar un elemento de volumen , superficie o longitud.. para la determinación del centro de masa o centro de gravedad determinar la masa o el peso del elemento utilizando la expresión adecuada de la densidad o del peso especifico.

4. Escribir una expresión del primer momento del elemento respecto a uno de los ejes o planos de referencia. Integrar la expresión para determinar el primer momento.

5. Utilizar la ecuación adecuada para obtener las coordenadas del centroide.

6. Repetir los pasos del 3 al 5 con las coordenadas obtenidas.

Otras integrales

A pesar de que las integrales de Riemann y Lebesgue son las definiciones más importantes de integral, hay unas cuantas más, por ejemplo:

* La integral de Riemann-Stieltjes, una extensión de la integral de Riemann.

* La integral de Lebesgue-Stieltjes, desarrollada por Johann Radon, que generaliza las integrales de Riemann-Stieltjes y de Lebesgue.

* La integral de Daniell, que incluye la integral de Lebesgue y la integral de Lebesgue-Stieltjes sin tener que depender de ninguna medida.

* La integral de Henstock-Kurzweil, definida de forma variada por Arnaud Denjoy, Oskar Perron, y Jaroslav Kurzweil, y desarrollada por Ralph Henstock.

* La integral de Darboux, que es equivalente a la integral de Riemann.

* La integral de Haar, que es la integral de Lebesgue con la medida de Haar.

* La integral de McShane.

* La integral de Buchner

Otras aplicaciones para las integrales.

* Área entre curvas.

* Sólidos de revolución.

* Longitud de curvas.

3.5 otras aplicaciones

Aplicaciones de la Integral

Dentro de los problemas típicos que se pueden expresar de manera directa mediante integrales y complementarios al problema básico de “área bajo la curva” se tienen:

·        Área entre curvas.

·        Sólidos de revolución.

·        Longitud de curvas.

·        Centroides de figuras planas.

·        Momentos de Inercia de cuerpos planos.

El objetivo de la presente sección es estudiar cada una de esas diferentes aplicaciones y se comenzará con la aplicación más común y que a su vez motivó los conceptos básicos de la integral: el área bajo la curva.

Área entre la curva y el eje x

En efecto, ya lo hemos señalado, integral no es lo mismo que área, ya que el concepto de integral es realmente un concepto mucho más amplio y que se puede aplicar a infinidad de situaciones novedosas.  Por otro lado, realizando las correcciones necesarias respecto de los valores negativos que pueda tomar una función en un intervalo la integral calcula perfectamente el área entre el eje x y una curva dada.

Pero el concepto de área se puede ampliar a espacios delimitados entre diversas curvas en el plano, estudiemos ahora esa generalización.

Área entre curvas

La integral representa la acumulación de las pequeñas variaciones en una situación dada, por ello podemos responder a la pregunta: Si se tiene una curva ¿Cuánto mide? ¿Cómo la mido? ¿Qué son las pequeñas variaciones en ese caso?

Longitud de una curva

La integral como concepto nace alrededor del cálculo numérico, por lo que muchas de las integrales que se nos presentan en la vida cotidiana ni tan siquiera son planteadas analíticamente; sin embargo, eso no las hace inútiles; ¡por el contrario! El potencial analítico de la integral se logra ante la simplicidad del concepto ¡no deja de ser una suma!!!!! 

Pero ahora con las computadoras, esas sumas las podemos hacer de manera muy eficiente.

Integración numérica

Es verdad que la motivación del la integración lo fue el concepto geométrico de área, pero ya hemos concluido que en realidad la podemos emplear en cualquier situación que se pueda representar por el producto de dos cantidades y el volumen es uno de esos casos, veamos los siguientes cuerpos geométricos y como la integral nos auxilia a calcular volúmenes.

Superficies y sólidos de Revolución

En los cuerpos físicos ocurren muchos fenómenos asociados a su geometría, dentro de esos fenómenos se presenta la ocurrencia de la masa, el peso y por tanto los efectos de la atracción gravitatoria, observemos ahora dos conceptos físicos necesarios para el estudio de cantidades físicas como las mencionadas.

Momentos de Inercia

Las aplicaciones de la integral son muy amplias y en este apartado se han presentado algunas de las más comunes, y con este estudio se amplia el panorama para que en nuestra visión de la naturaleza, en los actos que nos rodean todos los días, observemos como la acumulación es un hecho cotidiano.