CALCULO INTEGRAL: mayo 2011

lunes, 30 de mayo de 2011

4.4Radio de convergencia

En matemáticas, según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de una serie de la forma $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ , con $a_n,x,x_0\in\mathbb{R}$ , viene dado por la expresión:

$R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right |}$

Definición

Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ , con $a_n,x,x_0\in\mathbb{R}$ , recibe el nombre de serie de potencias centrada en $x 0$ . La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de $x$ que verifica que $| x - x 0 | < r$ , donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de $x$ pertenecientes al intervalo $(x 0 - r,$ $x 0 + r)$ , ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para $x 0$ , $r = 0$ . Si lo hace para cualquier valor de $x$ , $r =$ $\infty \,\!$ .

Ejemplos

Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar porqué el radio de convergencia es el dado.

Radio de convergencia finito

La función

1 / (1 - x)

en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia

x - x 0 = x - 0 = x

, tiene el siguiente aspecto:

$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+x^3+...$ .

(para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es $r = 1$ . Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al

x 0 = 0

es menor que

r = 1

, por ejemplo el

x = 0.25

, entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho

$\sum_{n=0}^\infty 0.25^n=1+0.25+0.25^2+0.25^3+...=\frac{4}{3}$ .

(la cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado

$\frac{1}{1-0.25}=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}$ .

Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el

x = 2

, los más probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:

$\sum_{n=0}^\infty 2^n=1+2+2^2+2^3+...=\infty$ .

Distancia a la singularidad

El cálculo del radio de convergencia no es simple. Veamos una función con dos desarrollos en serie con distintos centros y analicemos sus radios de convergencia. La misma función

1 / (1 - x)

en su desarrollo con centro

x 0 = 3

tiene la forma:

$\frac{1}{1-x}=-\frac{1}{2}+\frac{x-3}{4}-\frac{(x-3)^2}{8}+\frac{(x-3)^3}{16}-...$ .

Pero en este caso su radio de convergencia es $r = 2$ . Notemos que la función

1 / (1 - x)

tiene una singularidad en el 1; y que en los dos caso anteriores el radio de convergencia coincide con la distancia del centro a la singularidad:

| 0 - 1 | = 1

| 3 - 1 | = 2

. Esto será siempre verdadero para ésta función, pero, no puede generalizarse, como veremos en el siguiente ejemplo:

$\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{2}-\frac{x-1}{2}+\frac{(x-1)^2}{4}-\frac{(x-1)^4}{8}+\frac{(x-1)^5}{8}-...$

Como no hay singularidades reales podría suponerse que el radio es infinito, sin embargo su radio de convergencia es $r=\sqrt{2}/2$ . Este radio parece caprichoso pero tiene que ver con el hecho de que pasando la función a dominio complejo, existe una singularidad en el denominador.La serie

Radio de convergencia infinito

Por ejempo, la función

e x

puede desarrollarse en series de potencia de

x - 0 = x

, de hecho $e^{x}=\sum_{n=0}^\infty x^n/n!=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...$ .

y esto vale para todo real

x

por eso el radio de convergencia será infinito

viernes, 27 de mayo de 2011

4.5 Serie de Taylor

Una serie de potencias de x convergente se adapta bien al proposito de calcular el valor de la funcion que
representa para valores pequeños de x (proximos a 0). Ahora deduciremos n desarrollo de potencias de x-a,
siendo un numero fijo. La serie que asi se obtiene se adapta al objeto de calcular la funcion que representa
para valores de x cercanos a a.
Supongase que:
f(x)= f(a)+ f'(a) (x-a)/1 +....
+ f^(n-1) (a) (x-a)^n-1/ n-1 + R,
En donde:
R= f^(n) (x1) (x-a)^n / n (a<x1<x)
El termino R se llama termino complementario o residuo despues de n terminos

martes, 24 de mayo de 2011

4.6 Representación de funciones mediante la serie de Taylor

La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias

$f(x) = f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots$

que puede ser escrito de una manera más compacta como

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}\,,$

donde n! es el factorial de n y f ⁽ⁿ⁾(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y

(x - a) 0

0!

son ambos definidos como uno.

A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones básicas. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos dex.

Función exponencial y logaritmo natural

$e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad, \forall x; n \in \mathbb{N}_0$

$\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}n x^n\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1$

Serie geométrica

$\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1$

Teorema del binomio

$(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(n+1)\Gamma(n-\alpha)} x^n\quad$

para $\left| x \right| < 1\quad$ y cualquier $\alpha\quad$ complejo

Funciones trigonométricas

$\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad, \forall x$

$\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad, \forall x$

$\tan x = \sum^{\infin}_{n=20} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad, \mbox{ para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

Donde B_s son los Números de Bernoulli.

$\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\csc{x}=\sum_{n=1}^\infty{\frac{2(2^{2n-1}-1)B_{n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\quad\mbox{, para } 0<\left |{x}\right |< \pi$

$\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1$

$\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1$

Funciones hiperbólicas

$\sinh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad , \forall x$

$\cosh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad , \forall x$

$\tanh x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\sinh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1$

$\tanh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1$

Función W de Lambert

$W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\quad\mbox{, para } \left| x \right| < \frac{1}{e}$

Los números B_k que aparecen en los desarrollos de tan(x) y tanh(x) son Números de Bernoulli. Los valores C(α,n) del desarrollo del binomio son los coeficientes binomiales. Los E_k del desarrollo de sec(x) son Números de Euler.

lunes, 23 de mayo de 2011

Teorema del polinomio

En ocasiones se desea aproximar una funcion f(x) en un intervalo I. Lo mas comun es proximar la funcion con polinomios. En el caso de polinomios de Taylor,

la funcion f(x) continuay n+1 veces derivable, en el intervalo Ise aproxima mediante un polinomio p(x) de grado n, que tiene el mismo valor de la funcion

en un punto a I, ademas, la funcion y el polinomio coinciden en el valor de todas sus derivadas hasta de orden n en el punto a:

f(a)= p(a)

f^k(a)=P^k(a) k=1,2...,n

vSerie de Taylor

La “extensión de la serie” vuelve a dirigir aquí. Para otras nociones del término, vea serie.

En matemáticas, Serie de Taylor es una representación de a función como suma infinita de los términos calculados de los valores de su derivados en un solo punto. Puede ser mirado como límite de Polinomios de Taylor. Las series de Taylor se nombran en honor de Inglés matemático Arroyo Taylor. Si la serie utiliza los derivados en cero, la serie también se llama a Serie de Maclaurin, nombrado después Escocés matemático Colin Maclaurin.

Definición

La serie de Taylor de a verdadero o complejo función f(x) que es infinitamente diferenciable en a vecindad de a verdadero o complejo número a, es serie de energía

cuál en una forma más compacta se puede escribir como donde n! es factorial de n y f (n)(a) denota nth derivado de f evaluado en el punto a; el derivado del zeroth de f se define para ser f sí mismo y (x - a)0 ¡y 0! son ambos definidos para ser 1.

A menudo f(x) es igual a su serie de Taylor evaluada en x para todos x suficientemente cerca de a. Ésta es la razón principal por la que las series de Taylor son importantes.

En el caso particular donde a = 0, la serie también se llama una serie de Maclaurin.

Ejemplos

La serie de Maclaurin para cualesquiera polinómico es el polinomio sí mismo.

La serie de Maclaurin para (1 - x) - 1 es serie geométrica

tan la serie de Taylor para x - 1 en a = 1 es

Integrando la serie antedicha de Maclaurin encontramos la serie de Maclaurin para , donde denota logaritmo natural:

y la serie correspondiente de Taylor para en es

La serie de Taylor para función exponencial ex en a = 0 es

La extensión antedicha sostiene porque el derivado de ex está también ex y e0 iguales 1. Esto sale de los términos (x - 0)n ¡en el numerador y la n! en el denominador para cada término en la suma infinita.

Función exponencial

función exponencial es a función en matemáticas. El uso de esta función a un valor x se escribe como exp (x). Equivalente, esto se puede escribir en la forma ex, donde e es una constante matemática, base del logaritmo natural, que iguala aproximadamente 2.718281828, y también se conoce como Euler'número de s.

En función de verdadero variable x, gráfico de y=ex está siempre el positivo (sobre x eje) y aumento (de izquierda a derecha vista). Nunca toca x eje, aunque consigue arbitrariamente cerca de él (así, x el eje es un horizontal asíntota al gráfico). Su función inversa, logaritmo natural, ln (x), se define para todo positivo x. La función exponencial se refiere de vez en cuando como antilogaritmo. Sin embargo, esta terminología se parece haber caído en disuse recientemente.

A veces, especialmente en ciencias, el término función exponencial se utiliza más generalmente para las funciones de la forma kax, donde a, llamado base, es cualquier número verdadero positivo no igual a uno. Este artículo se centrará inicialmente en la función exponencial con la base e, Número de Euler.

Generalmente variable x puede ser verdadero o número complejo, o aún una clase enteramente diversa de objeto matemático; vea definición formal abajo.

Logaritmo natural

logaritmo natural, conocido antes como hiperbólico logaritmo[1], es logaritmo a base e, donde e es irracional constante aproximadamente igual a 2.718281828459. En términos simples, el logaritmo natural de un número x es la energía a la cual e tendría que ser levantado al igual x - por ejemplo el registro natural de e sí mismo es 1 porque e1 = e, mientras que el logaritmo natural de 1 sería 0, desde entonces e0 = 1. El logaritmo natural se puede definir para todo positivo números verdaderos x como área debajo de la curva y = 1/t a partir de la 1 a x, y puede también ser definido para diferente a cero números complejos según lo explicado abajo

Calculo Diferencia e Integral

Editorial Trillas