Teorema del polinomio

En ocasiones se desea aproximar una funcion f(x) en un intervalo I. Lo mas comun es proximar la funcion con polinomios. En el caso de polinomios de Taylor,

la funcion f(x) continuay n+1 veces derivable, en el intervalo Ise aproxima mediante un polinomio p(x) de grado n, que tiene el mismo valor de la funcion

en un punto a  I, ademas, la funcion y el polinomio coinciden en el valor de todas sus derivadas hasta de orden n en el punto a:

f(a)= p(a)

f^k(a)=P^k(a) k=1,2...,n

vSerie de Taylor

La “extensión de la serie” vuelve a dirigir aquí. Para otras nociones del término, vea serie.

En matemáticas, Serie de Taylor es una representación de a función como suma infinita de los términos calculados de los valores de su derivados en un solo punto. Puede ser mirado como límite de Polinomios de Taylor. Las series de Taylor se nombran en honor de Inglés matemático Arroyo Taylor. Si la serie utiliza los derivados en cero, la serie también se llama a Serie de Maclaurin, nombrado después Escocés matemático Colin Maclaurin.

Definición

La serie de Taylor de a verdadero o complejo función f(x) que es infinitamente diferenciable en a vecindad de a verdadero o complejo número a, es serie de energía

cuál en una forma más compacta se puede escribir como donde n! es factorial de n y f (n)(a) denota nth derivado de f evaluado en el punto a; el derivado del zeroth de f se define para ser f sí mismo y (x - a)0 ¡y 0! son ambos definidos para ser 1.

A menudo f(x) es igual a su serie de Taylor evaluada en x para todos x suficientemente cerca de a. Ésta es la razón principal por la que las series de Taylor son importantes.

En el caso particular donde a = 0, la serie también se llama una serie de Maclaurin.

Ejemplos

La serie de Maclaurin para cualesquiera polinómico es el polinomio sí mismo.

La serie de Maclaurin para (1 - x) - 1 es serie geométrica

tan la serie de Taylor para x - 1 en a = 1 es

      .

Integrando la serie antedicha de Maclaurin encontramos la serie de Maclaurin para , donde denota logaritmo natural:

y la serie correspondiente de Taylor para en es

      .

La serie de Taylor para función exponencial ex en a = 0 es

      .

La extensión antedicha sostiene porque el derivado de ex está también ex y e0 iguales 1. Esto sale de los términos (x - 0)n ¡en el numerador y la n! en el denominador para cada término en la suma infinita.

Función exponencial

función exponencial es a función en matemáticas. El uso de esta función a un valor x se escribe como exp (x). Equivalente, esto se puede escribir en la forma ex, donde e es una constante matemática, base del logaritmo natural, que iguala aproximadamente 2.718281828, y también se conoce como Euler'número de s.

En función de verdadero variable x, gráfico de y=ex está siempre el positivo (sobre x eje) y aumento (de izquierda a derecha vista). Nunca toca x eje, aunque consigue arbitrariamente cerca de él (así, x el eje es un horizontal asíntota al gráfico). Su función inversa, logaritmo natural, ln (x), se define para todo positivo x. La función exponencial se refiere de vez en cuando como antilogaritmo. Sin embargo, esta terminología se parece haber caído en disuse recientemente.

A veces, especialmente en ciencias, el término función exponencial se utiliza más generalmente para las funciones de la forma kax, donde a, llamado base, es cualquier número verdadero positivo no igual a uno. Este artículo se centrará inicialmente en la función exponencial con la base e, Número de Euler.

Generalmente variable x puede ser verdadero o número complejo, o aún una clase enteramente diversa de objeto matemático; vea definición formal abajo.

Logaritmo natural

logaritmo natural, conocido antes como hiperbólico logaritmo[1], es logaritmo a base e, donde e es irracional constante aproximadamente igual a 2.718281828459. En términos simples, el logaritmo natural de un número x es la energía a la cual e tendría que ser levantado al igual x - por ejemplo el registro natural de e sí mismo es 1 porque e1 = e, mientras que el logaritmo natural de 1 sería 0, desde entonces e0 = 1. El logaritmo natural se puede definir para todo positivo números verdaderos x como área debajo de la curva y = 1/t a partir de la 1 a x, y puede también ser definido para diferente a cero números complejos según lo explicado abajo

Calculo Diferencia e Integral

Editorial Trillas