3.1 Área

1. La función es positivaSi la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:
1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.2º El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los puntos de corte.


 Ejemplos
1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x2 y el eje OX.En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar  la curva y conocer los límites de integración.En segundo lugar se calcula la integral:2. Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva y = ln x entre el punto de corte con el eje OX y el punto de abscisa x = e.En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de abscisas.

2. La función es negativa

Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por un viene dada por:

Ejemplos

1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x2 − 4x y el eje OX.

2. Hallar el área limitada por la curva y = cos x y el eje Ox entre π/2 y 3π/2.

3. La función toma valores positivos y negativos
En ese caso el el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos:
1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.
2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración.
3º El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.