3.2 Longitud de curvas

Longitud de curvas

Es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentosirregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.FormulacionAl considerar una curva definida por una función y su respectiva derivada que son continuas en un intervalo [a, b], la longitud S del arco delimitado pora y b es dada por la ecuación: En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones dependientes de t comoela longitud del arco desde el punto hasta el punto se calcula mediante: Si la función esta definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ángulo polar están relacionados mediante  la longitud del arco comprendido en el intervalo toma la forma: 

Deducción de la fórmula para funciones de una variable

 Supongamos que tenemos una curva rectificable cualquiera, regida por una función , y supongamos que queremos aproximar la longitud del arco de curva S que va desde un punto a a uno b. Con este propósito podemos diseñar una serie de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva elegido tal como se ve en la figura. Para hacer a este método "más funcional" también podemos exigir que las bases de todos aquellos triángulos sean iguales a Δx, de manera que para cada uno existirá un cateto Δy asociado, dependiendo del tipo de curva y del arco elegido,  siendo entonces cada hipotenusa igual a , al aplicarse el teorema pitagórico. Así, una aproximación de S estaría dada por la sumatoria de todas aquellas n hipotenusas desplegadas. Por eso tenemos que;  Pasemos a operar algebraicamente la forma en que calculamos cada hipotenusa para llegar a una nueva expresión;Luego, nuestro resultado previo toma la siguiente forma:Ahora bien, mientras más pequeños sean estos n segmentos, mejor será la aproximación buscada; serán tan pequeños como deseemos haciendo que Δxtienda a cero. Así, Δx deviene en dx, y cada cociente incremental Δy_i / Δx_i se transforma en un dy / dx general, que es por definición . Dados estos cambios, nuestra aproximación anterior se convierte en una sumatoria más fina y ahora exacta, una integración de infinitos segmentos infinitesimales;

http://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_de_arco